Kącik NC

Na portalu Android Authority co tydzień organizowany jest konkurs, w którym czytelnicy strony mają okazję wygrać nowy telefon, ostatnio były to m.in. SGS 5, Nexus 5 czy HTC Desire. Tylko, że telefon jest jeden, a chętnych tysiące.

Aby wziąć udział w konkursie, wystarczy być ich czytelnikiem, za co otrzymujemy 1 kupon loteryjny. Jednak możemy w sumie uzyskać 12 kuponów – wystarczy zainstalować ich oficjalną aplikację na Androidzie, a następnie wysłać informację o organizowanym konkursie 10 znajomym. Pomyślicie, że w ten sposób zwiększycie waszą szansę na wygraną co najmniej dziesięciokrotnie? Wcale nie.

Poniżej przedstawiam rozwiązanie problemu, który można nazwać „czy więcej kuponów oznacza większą szansę na wygraną”. Aby zrozumieć przedstawione rozumowanie, nie trzeba znać żadnej tajemnej wiedzy, wystarczy wysilić nieco mózgownicę ;).

Równe szanse
Zacznijmy od założenia, że prawdopodobieństwo wygranej każdego uczestnika jest jednakowe (tak powinno być, a jak jest w praktyce?). Wtedy gra jest sprawiedliwa. Oznacza to, że jeśli mamy n graczy, to każdy z nich ma szansę na poziomie 1/n np. 2 graczy, więc każdy z nich ma szanse 1/2 czyli 50%.

Niewiele chętnych
Zacznijmy od prostego przypadku – bierzemy udział w loterii razem z 9 innymi graczami. Każdy ma szansę na wygraną wynoszącą 10%. Wydaje się, że to dużo, a jednocześnie, że to mało ;). Postanowiliśmy jednak dopomóc szczęściu – kupujemy jeszcze 10 losów, w sumie mamy ich teraz 11. Pomyślicie, że zwiększyliśmy prawdopodobieństwo wygranej jedenastokrotnie? Posiadamy w tej chwili 11 losów, jednak wszystkich kupionych losów jest w tej chwili 20.

Krótki rachunek pokazuje, że nasze szanse na wygraną wynoszą teraz 11/20 czyli 55%. To niewiele więcej niż wypadnięcie orła w rzucie monetą. Zależy nam jednak na wygranej i nie chcemy, aby była to kwestia rzutu monetą. Kupujemy kolejne 10 losów, mamy ich już 21, więc w sumie gracze kupili 30 dostępnych kuponów (bo nikt inny nie wpadł na to, by kupić więcej losów!).

Wyliczenia pokazują, że szansa naszej wygranej to 21/30 czyli 70%. Nie jest to jakiś znaczący skok, biorąc pod uwagę, że podwoiliśmy liczbę losów.

Idąc dalej takim tokiem myślenia, to w momencie gdy będziemy mieć 141 kuponów, nasze prawdopodobieństwo wygranej wyniesie 141/150 = 94%. Mamy już zatem nagrodę niemal w kieszeni, ale oczywiście zawsze może być jeszcze te nieszczęsne 6% ;).

Co ciekawe, gdy będziemy mieć 201 kuponów, to wygrywamy z prawdopodobieństwem 201/210 = 95,7%. Niewielka różnica w porównaniu z poprzednim wynikiem, a 60 losów więcej.

Możemy tak się oczywiście brnąć dalej, ale widzimy czego możemy się spodziewać – każdy kolejny zakupiony kupon „traci” na wartości.

Podsumuję wykresem mojego autorstwa.

Oś pozioma – ilość kuponów wykupionych przez jednego gracza. Oś pionowa – prawdopodobieństwo wygranej gracza.

Tłum chętnych
Najpierw rozpatrzyłem przypadek, w którym mamy 10 uczestników loterii. Co jeśli uczestników będzie 1000?

Tok rozumowania jest identyczny. Mając 1 kupon nasze szanse wynoszą 1/1000 = 0,1%. Jeśli dokupimy 100 kuponów, to szansa wyniesie 101/1100 = 9,2%. Poniższy wykres pokazuje, że kupując 1000 losów, prawdopodobieństwo wygranej wyniesie niemal 50%. Nagroda musiałaby być niezwykle atrakcyjna, aby wyrzucić tyle pieniędzy w błoto – nasza wygrana wciąż zależy od rzutu monetę.

Przypadek Android Authority
Przechodzę do sedna sprawy. Trzymajcie się mocno, bo zarejestrowanych kuponów loteryjnych na Android Authority jest ponad 33000!

Wydaje się zatem oczywiste, że cokolwiek bym nie zrobił, to nie mam szans.

Jeżeli ograniczę się do minimum, czyli do wyrażenia chęci udziału w konkursie, mam szanse rzędu 1/33000 = 0,003% (wliczam siebie do istniejącej puli graczy). Jeżeli zrobię to co mogę, będę mieć w sumie 12 losów. Czy rzeczywiście zwiększyłem swoje szanse?

12/33011 = 0,036%

W rzeczy samej, mam teraz 12 razy większy wynik. Jednak jest on nadal mizerny i właściwie w żaden sposób nie przybliża mnie do nowego modelu telefonu!

Dopiero jakieś 330 kuponów dawałyby mi 1% szansy. A gdzie tam całe 99%…

Walcz, gdy mało uczestników
Podsumowując, dodatkowe losy nie mają dużej wartości, o ile grono graczy nie jest małe. Jeżeli liczbę naszych rywali możemy podać w tysiącach, to 1 los w zupełności wystarczy, jedynie jako „dreszczyk emocji” i „może akurat”. Jeśli więc się zastanawiasz, czy nie kupić za 2 zł drugiego kuponu – zostaw sobie na browara.

Oczywiście cały mój rachunek może trafić szlag, jeśli ktoś przy wynikach majstruje i faworyzuje wybrane przez siebie osoby. Wtedy nie mamy żadnych szans na wygraną :).

Pytania?